Методичен анализ на развитието на понятията функция и вектор в часовете по математика и физика


Категория на документа: Педагогика


Чрез пример за физичната векторна величина сила нека разгледаме подробно процеса на изучаването на нейните векторни свойства на равнището на пропедевтичния курс в 8 клас (Максимов, 2009). При това разглеждане ще обърнем внимание и върху неточностите, допуснати в учебниците по физика по въпросния проблем, а също и върху пътя за евентуалното им отстраняване.
На първо място, тъй като силата е векторна величина и не може да се характеризира само с число, то изрази от вида "сила, равна на 5 N" са некоректни. Наистина, с даването на едно число (модула на силата), самата сила още не е ясна. Например на Фиг. 4 са изобразени пет сили с един и същ модул. За всяка от тези сили може да се каже: "Силата е равна на 5 N". За коя от тази сила става дума в посочената задача.

Фиг.
Такъв вид формулировки следва да се заменят с по-коректни от вида : "модулът на силата е равен на 5 N" . При това за осмисляне на векторния характер на силата, на учениците трябва да се предложат задачи от следния вид: "Да се изобрази в даден мащаб сила, модулът на която е 4N". Те трябва да разбират, че решението на задачата не е еднозначно. Следователно, за да бъде дадена една сила, не е достатъчно да се знае само големината и. Необходимо е да се знае и посоката и. За определеност на задачата, към условието трябва да се добави: "Силата е хоризонтална "Силата сключва ъгъл 30° с хоризонтална плоскост и др.(Пинский, 1982)
Учениците трябва да се упражняват върху двата вида задачи: и когато силата е определена от условието на задачата, и когато задачата няма еднозначно решение.
Сега да пристъпим към: изучаването на свойствата на силата. като векторна величина.При изучаване на операцията събиране на векторни величини трябва да се даде дефиниция за сбор на две векторни величини (в случая-сили). В учебника за 8 клас (Максимов, 2009) сборът на две сили се нарича равнодействуваща сила. При това обаче, макар и в учебника да липсва терминът сбор на сили, там операцията намиране на равнодействуващата на две сили е наречена събиране на сили. Естествено би било веднага - да се даде и второто име на равнодействуващата сила като сбор на сили.
Ще отбележим, че отъждествяването на понятията сбор на сили и равнодействуваща сила е незаконно. Причината е, че в общия случай една равнинна или пространствена система от сили, приложена към твърдо тяло, не се свежда до една равнодействуваща, а до главен вектор (сбор на сили) и главен момент. Само в случая, когато продълженията на всички сили се пресичат в една точка (сходяща система от сили), главният момент е равен на нула и системата от сили се свежда само до една сила - главният вектор, който може да бъде наречен равнодействуваща сила. (Пинский, 1978)
Тъй като програмата не предвижда изучаването на този въпрос в училище, трябва да се ограничим само с разглеждането на един случай - на система сили, приложени към една точка. Ето защо трябва да се избягват неясните, формулировки и навсякъде да се говори за равнодействуваща на система от сили, приложени в точка, а не към тяло (или към тяло в една негова точка).
В часовете за упражнения на тази тема трябва непременно да се предложи на учениците да решават задачи, в които да се търси сборът на две сили.
Да обърнем внимание и на обстоятелството, че в учебника по физика за 8 клас (Максимов, 2009)е подчертан текстът: "Равнодействащата на две сили, действащи по една права линия в противоположни посоки има посоката на по-голямата сила и големина, равна на разликата от големините на двете сили".
Но-преди това е казано, че при намирането на равнодействащата сила - силите се събират. Следователно въпросното твърдение е некоректно. То трябва изобщо да се изхвърли, тъй като тук в действителност става дума за събиране на числа с противоположни знаци, което е добре известно от курса по математика за 6 клас (Паскалева, 2011). На тези знания можем да се опрем и при изучаването на въпросната тема. Формулировката на правилото за намиране равнодействащата на сили с еднаква посока има същата посока, а модулът и е равен на сбора от модулите на съставните сили. Равнодействащата на две сили с противоположни посоки има посоката на по-голямата по модул сила, а модулът й е равен на разликата от модулите на съставните сили".
Сега в учебника за 8. клас (Максимов, 2009) няма достатъчно упражнения, които да илюстрират асоциативността на събирането на сили. В действителност такива упражнения не са трудни за учениците и би било целесъобразно да им се предложат задачи за събиране на три сили, например, като изобразените на Фиг. 5. При това могат да се демонстрират свойствата комутативност и асоциативност(равнодействащата на тези сили не зависи от начина на събирането). При такова разглеждане е естествено да се опираме на знанията на учениците за асоциативния закон за събиране на числа, изобразени с насочени отсечки върху числовата ос, както това е направено в курса по математика за 5. клас (Лозанов, 2011).

Фиг.
При изучаване на понятията нулеви и противоположни векторни величини в случая на сили, трябва да се изясни какво означава нулата в множеството от сили и коя сила трябва да се нарича противоположна на дадена сила. В множеството на силите нула се нарича равнодействащата на две равни по модул и с противоположни посоки сили. За нея се казва следното: "Тяло, върху което действат две равни по големина, но с противоположни посоки сили, се намира в покой или се движи праволинейно равномерно". За нашите цели би трябвало да се добави, че равнодействащата на две такива сили е равна на нула. При това можем да се опрем на пълната аналогия със събирането на противоположни числа и следователно въпросното твърдение няма да е нещо ново да учениците (Пинский , и др., 1986)Към съдържащите се в учебника упражнения на тази тема следва да се добавят упражнения за намиране на силата, която е противоположна на дадена сила. Например: "Върху тяло действа хоризонтална сила 3 N. Каква сила трябва да се приложи към тялото, за да е равна на нула равнодействуваща сила?"
В учебника за 8 клас (Паскалева, 2011)не са предвидени достатъчни упражнения за затвърдяване на правилото за умножение на векторна величина (сила) с число. В действителност тези задачи не са особено сложни и учениците лесно могат да ги решават. Така например въпроси от вида: "Коя от изобразените на фигурата сили е по-голяма и колко пъти (за сили с една и съща посока или с противоположни посоки)?" са аналогични на въпроси, решавани от учениците в 6. клас -в случая на рационални числа.
Аналогично без големи усилия учениците могат да решават задачи за намиране на произведението на сила с число. Например: "Върху тяло действа вертикално надолу сила 4 N. Каква сила трябва да се приложи към тялото, за да увеличи действието и 7 пъти?"
За запознаване със свойството дистрибутивност на операцията събиране на векторни величини може да се даде следното упражнение:, "Масата на Тони е 20 kg. Той носи раница с маса 2 kg. До него върви баща му, масата на когото е 80 kg. Той носи раница с маса 8 kg. Колко пъти силата, с която бащата действа върху Земята е по-голяма от силата, с която действа синът?"
Учителят следва да организира решението по два начина (например като дава различни указания на 2 групи). Важно е да се обсъдят двата подхода и резултатите:
* събираме масите на човека и раницата, намираме теглото на всеки човек заедно с раницата, а след това намираме отношението на тези сили;
* намираме поотделно теглото на човека и на раницата, събираме тези сили, а след това намираме отношението на равнодейсващите.
С аналогични примери може да се разгледа свойството дистрибутивност на умножението на векторна величина с число в случая на събиране на числа.
Това именно са елементарните изисквания за провеждането в 8 клас (Петкова, 2009)на пропедевтиката на понятието сила като векторна величина. (Кожекина, и др., 1982)
Такова разглеждане на основните понятия в курса по физика за 8 клас (Максимов, 2009) дава възможност да се направят някои обобщения в курсовете по математика и физика с цел да се разкрият основните свойства на векторите. Тези свойства, разработени достатъчно подробно по геометрия при изучаването на темата "успоредно пренасяне" и отнесени към материала по физика дават възможност в края на 8 клас (Максимов, 2009) учениците да се запознаят с векторните величини като елементи на множества, в които, са изпълнени определени свойства (аксиомите на векторно пространство). При това понятието векторна величина, необходимо за курса по физика, може да възникне естествено като обект, чийто геометричен модел може да е насочената отсечка или множеството от еквивалентни насочени отсечки.
Въз основа на знанията за векторните свойства на силите и скоростите (получени при формирането на понятието вектор като успоредно пренасяне в курса по физика в 8 клас), в курса по физика в 8 клас (Максимов, 2009) могат да се развият и задълбочат знанията за физичните векторни величини. Тук може да се следва следната логична линия.
Като анализираме постъпателно движение на тяло, се убеждаваме че това е успоредно пренасяне (Фиг. 6) правата AB се пренася успоредно на себе си (AB∥A1B1) Това успоредно се характеризира с вектора: AA1 =s -вектор на преместването. Това веднага позволява да се пренесат за този вектор всички свойства на векторните величини, изучени в курса по математика в 8 клас (Паскалева, 2011). При такъв подход се развиват и обобщават вече известни на учениците свойства на векторните величини. При това учителят трябва да използва вече известната им терминология и в никакъв случай да не въвежда нова.

Фиг.

Като използва известното на учениците свойство, че умножаване на вектор с число се получава вектор, колинеарен на дадения, учителят веднага може да докаже, че скоростта и ускорението са вектори: v=∆s/∆t ; a=∆v/∆t
Наистина при деление на векторите ∆s и ∆v със скалара време t, се получава нов вектор. Същото свойство се затвърдява при изучаването на втория закон на Нютон и при закона на Хук:
F=ma ; F=-k∆x
Тук масата и коефициентът на еластичност са скаларни величини; силата, ускорението на преместването са векторни величини.
Аналогично е положението и при вектора интензитет на електричното поле в електродинамиката. Като разделим вектор (силата) със скалар (заряда), получаваме новата векторна величина интензитет на полето: E=F/q (Пинский , и др., 1986)
Ще отбележим, че посоката на вектора на индукцията на магнитното поле не може да се въведе така, защото това е вектор от по-специален вид - аксиален вектор. Тъй като в училище не се въвежда понятието векторно произведение, посоката на вектора на индукцията на магнитното поле се определя само чрез мнемонични правила: по правилото на десния винт или по превилото на лявата ръка.

Изводи:
Подход, базиран на междупредметни връзки, позволява да се преодолее недостатъкът на действащите програми по математика и физика, който се състои във формирането на разнородна и противоречива представа за вектор. Учениците трябва да бъдат облекчени в точното усвояване на това понятие.
Необходимо е единодействие между учителите по математика и физика за последователна реализация на междупредметните връзки. Това е съществен ресурс за облекчаване както на процеса на обучението, така и на процеса на подготовката на ученика и повишаването на качеството на обучение.
Важна е съвместната работа на учителите по физика и математика при изработването на единни начини, единна терминология, методи за построяване и разчитане на графики и др. Процесът на едновременното формиране на понятието функционна зависимост в математиката и физиката започва в 8. клас и продължава през целия курс на обучение. Знанията за свойствата на линейната и квадратната функция се затвърдяват при изучаването на кинематиката. Началните познания за тригонометричните функции се затвърдяват при решаване на задачи по динамика и при формиране на понятието работа.
Необходима е преработка на учебните пособия по физика в съответствие с новото учебно съдържание по математика и съответна преподготовка на учителите по физика. Разривът, който се наблюдава сега между разработката на някои понятия при обучението по физика и математика, трябва по възможност по-скоро да бъде ликвидиран.
Необходимо е да се унифицира терминологията в учебните програми по математика и физика.
Установяването на по-тясна връзка и по-тясно взаимодействие на училищните курсове по физика и математика може да изиграе съществена роля за повишаване качеството на обучението и по-специално за развитието на логическото мислене на учениците, за засилване строгостта на техните разсъждения.
В методическите ръководства по физика и математика следва да се отдели внимание на раздели за междупредметните връзки и учителите да се насочват към реализирането им по време на обучението си в различните ОКС и ПКС.





Сподели линка с приятел:





Яндекс.Метрика
Методичен анализ на развитието на понятията функция и вектор в часовете по математика и физика 9 out of 10 based on 2 ratings. 2 user reviews.