Методичен анализ на развитието на понятията функция и вектор в часовете по математика и физика


Категория на документа: Педагогика


Програма по математика предвижда ранно въвеждане на понятието функционна зависимост, широко използване на буквени означения, умение за извършване на елементарни тъждествени преобразувания, и решаване на текстови задачи с помощта на линейни уравнения с едно неизвестно. Този материал, изучен в (4 -5) клас облекчава въвеждането на понятията плътност, скорост и налягане в часовете по човека и природата в 6 клас. От друга страна, системното използване на тези понятия в курса по физика позволява да се затвърдят получените навици и заедно с това се внася нов елемент - работата с размерности.
Теоретико-множествените идеи облекчават въвеждането на основното понятие функция в 8. клас едновременно по математика и физика. Ролята на физиката е изключително голяма, тъй като изучаваните в нея величини (преместване и време, маса и обем, налягане и сила др.) са нагледни и по-близки до житейския опит на ученика. Освен това във физиката може да се открива функционна зависимост между величини непосредствено от експеримента: например при провеждане на лабораторните работи "Градуиране на пружина и измерване на сила с динамомер" и "Определяне плътността на твърди тела". В 7 и 8 клас тези възможности естествено се увеличават съществено.
Ще се спрем на проблемата за съвременното въвеждане на понятието функция и за използването му в училищния курс по физика. Главно ще се основаваме върху материала от 6 -8 клас.
Понятието функция е едно от ключовите понятия в математиката и равнището на математическото образование в много отношения зависи от това, доколко това понятие ще бъде формирано в съзнанието на учениците. В определена степен това е решаващ критерий - по равнището на функционното мислене на учениците може да се съди за общото равнище на тяхната математическа подготовка.
В края на XIX и началото на XX век в математиката се оформи съвременното теоретико-множествено разбиране на понятието функция, като определено съответствие между множества. То е основата на дефиницията на това понятие в училищния курс по математика:
Понятието функция не се свързва с аналитичен израз, с формула. Функцията може да се давай аналитично (с формула), и с таблица, и с графика, и със словесно описание на начина, по който се установява съответствието между елементите на две множества. Следователно разполагаме със строго макар и напълно елементарно изложение на идеята за функционна зависимост, което напълно се съгласува със съвременните научни схващания.
Понякога може да се чуе мнението, че такъв подход е прекалено абстрактен, че уж по-рано всичко било по-просто и по-разбираемо. С такова мнение е невъзможно да се съгласим. Ето какво пише по този повод забележителният учен и методик А. Я. Хинчин: "Заменянето на ясните и точни дефиниции, формулировки и разсъждения с мъгляви, които нямат точен смисъл... в никакъв случай не може да съдейства за облекчаване на разбирането, а напротив, във всички случаи го затруднява; да се мисли мъгляво не може да е по-лесно, отколкото да се мисли точно" (Хинчин, 1963).
Ще разгледаме някои проблеми, които възникват в методиката на физиката във връзка със системата на формиране на понятието функция в училищния курс по математика.
Понятието функция играе изключително важна роля във физиката. По същество всеки физически принцип, всеки физически закон едва тогава се признава за ясно формулиран, когато му е придадена математическа форма или по-точно, когато той е записан във вид на някаква функционна зависимост между физични величини. По този повод в "Еволюция на идеите във физиката" Айнщайн и Инфелд пишат: "Една от най-важните характерни черти на съвременната физика, се състои в това,че заключенията, направени от основните идеи имат не само качествен, но и количествен характер... За да направим количествени заключения. трябва да използваме математическия език... А ако искаме да направим заключения, които да могат да се сравнят с експеримента, математиката ни е необходима като оръдие за изследване."
Едновременно с това физическият закон съдържа не само функционна зависимост между физически величини. Той е нещо много по-дълбоко: в съдържанието на закона в известна степен се включва н причинно-следствена връзка между природните явления. Причинно-следствената връзка обаче не е функционна зависимост и даже изглежда тя не може да се опише математически. Това се дължи на факта, че причинно-следствената връзка изразява зависимост между природни явления, докато функцията изразява съответствие между множества от стойности на физични величини. И макар че в причинно-следствените връзки има количествен аспект, който може да се изразява чрез функционна зависимост, като цяло те не се свеждат до функции, тъй като освен с количествени зависимости, те се характеризират и със своята качествена страна (Пинский , и др., 1986).
Например причината за почерняването на кожата е облъчването с ултравиолетови лъчи, но тук няма ярко изразена функция. От друга страна, обемът на кълбото е функция на радиуса му, но тук няма причинно-следствена връзка: нали не можем да смятаме радиуса за причина, а обема - за следствие!
По-нататък, щом в съвременната физика се изключва действието от разстояние, тук причинно-следствената връзка е разместена във времето: отначало става събитието, което служи за причина, а едва след известно време става събитието, което е следствие. Междувременно в понятието функционна зависимост времето не участва (ако не е една от променливите аргумент яла функция). С други думи, променливите, свързани с функционна зависимост не винаги са свързани помежду си хронологично, макар и тази възможност да не е изключена. А явленията, свързани с причинно-следствена връзка, имат строго изразен хронологичен аспект.
Накрая причинно-следствената връзка е необратима в смисъл, че причината и следствието не могат да разменят местата си. А при наличието на взаимно еднозначно съответствие между две множества, винаги съществува както права, така и обратна функция.
Всичко това е в подкрепа на извода, че е недопустимо да се отъждествява функционна зависимост с причинно-следствена връзка. За съжаление в практиката на преподаването по физика такова отъждествяване се наблюдава често и то води до редица недоразумения.
От друга страна, от изложеното следва, че при преподаване на един или друг физически закон учителят по физика не бива да се ограничава само с изучаването на функционалната зависимост между величините, които се описват от закона. Необходимо е да се изтъкнат не само количествените, но и качествените връзки и по- специално причинно-следствените връзки. А това означава, че наред с математическия език трябва да се използва и апаратът на логиката, на диалектиката, езикът на образите и т.н. Забравянето на този очевиден принцип е една от причините за формализма в знанията на учениците, една от причините ученик да владее добре апарата и лесно да решава задачи за пресмятане, но да се оказва безпомощен при анализиране на физическата същност на явленията и при решаване на задачи от качествен характер (Пинский, 1977).

Проблемна ситуация:
При преподаването на физиката широко е разпространена една методическа грешка. Учителят по физика се опитва да вложи в съдържанието на понятието функция не онзи смисъл, който влагат в него математиците. Такова методическо "творчество" води до пагубни резултати:
> Ученикът не разбира защо учителят по физика смята за погрешни онези твърдения, които се приемат с одобрение и се оценяват положително от учителя по математика.
> Ученикът започва да мисли, че съществуват два различни начина за разглеждане на едно и също понятие (в математиката и във физиката) и се старае да "угоди" на всеки от учителите. Той излага материала не от позициите на истинския смисъл на понятието, а като се съобразява с "вкуса" на изпитващия.
> В резултат на такава "преработка" на математическите понятия уж за нуждите на физиката често се влошава готовността на ученика да прилага дори добре известния му математически апарат за решаване на физически задачи, защото е свикнал непрекъснато да очаква някакъв "номер" от страна на физиката.
Все пак кое е послужило като повод за изменяне на възприетото в математиката схващане за функционна зависимост?
Причини:
* Първата причина е, че терминът зависимост, който преди е бил използван при дефинирането на понятието функция, има твърде много различни оттенъци. Една зависимост може да се разбира и като причинно - следствена връзка, и като описание на някакъв физичен процес; характеризиращ взаимодействието на някои физични обекти. В бита терминът "зависимост" се използва широко именно в причинно-следствения смисъл (например възприемане на учебното съдържание от учениците,зависи от тяхната концентрация, мотивация, здравословното им състояние, настроение и др. ), но съвсем не като съответствие между множества от стойности на две величини. В съвременната дефиниция на понятието функция терминът "зависи" е изключен. Но, учителите по физика все още се опитват да разглеждат функционалната зависимост в нейното архаично разбиране, което създава методически трудности и обърква учениците.
* Втората причина за методическите трудности е неясното, понякога много ограничено разбираме на термина променлива величина в уроците по физика. Често пъти понятието променлива се асоциира с изменение във времето, с непрекъснатост на процеса на изменение с някакъв механизъм, позволяващ да се осъществи изменението на изследваната величина. Всичко това са излишни ограничения, чието въвеждане не се диктува от никаква необходимост - нито математическа, нито физическа и която само затруднява формирането на понятието променлива величина. По-нататък, наред със строгия математичен термин променлива ще използваме и близкия му по смисъл термин променлива величина, който често се използва във физиката. Под променлива величана ще разбираме случая, когато някоя физична величина (маса, сила, скорост, енергия и др.) приема редица стойности от някакво множество. Това множество може да е дискретно или непрекъснато, крайно или безкрайно. Променлива величина е например съпротивлението на реостат или капацитетът на променлив кондензатор - тук множеството от стойностите на съпротивлението и капацитета се получава чрез плавно завъртане на плъзгача. Но променлива величина е и електричното съпротивление на магазинно съпротивление или капацитетът на магазинен кондензатор - това са примери на величини, които се изменят дискретно(Кожекина, и др., 1982). Накрая, променливо съпротивление може да се реализира и просто във вид на комплект резистори, поставени в кутия, или променлив капацитет - във вид на комплект от кондензатори, а променлива маса - във вид на комплект от теглилки. От гледище на математиката начинът, по който от известно множество се избира една или друга стойност на изследвана величина, не играе никаква роля, докато за физиката това може да е съществено. Така например, от гледище на физиката множеството от стойностите на масата чрез подбиране на различни теглилки от комплект се различава съществено от множеството стойности на масата, получено чрез преминаване към различни отправни системи, спрямо които даденото тяло се движи с различни скорости. Но и тук математикът ще види само едно - множество от стойности, т. е. променлива величина. Та нали за формирането на понятието функционна зависимост е нужно само това(Пинский , и др., 1986) Така се убеждаваме, че авторите на програмата и на учебниците по математика са постъпили твърде разумно, като при дефиницията на функция се опират на понятието множество, което започва да се формира още в първи клас и избягват донякъде неясния и двусмислен термин променлива величина. Това ни най-малко не означава, че този термин трябва изобщо да не се употребява.Той е удобен, а в редица случаи - незаменим. Но не е удачно да се употребява като родово понятие в дефиницията на понятието функция и трябва да се използва с нужното внимание, ако се прецени, че е належащо неговото използване.
* Третата причина за методически недоразумения е неточното разграничаване на понятията променлива и параметър. Последното понятие се дефинира по следния начин: параметърът е величина, която в дадена задача има фиксирана стойност. С други думи, на параметъра също съответства множество от стойности, както и на променлива величина, но в дадена задача ние избираме някаква определена стойност на параметъра и я фиксираме. Между другото, с това един параметър се различава от общоприетите константи - величините, които имат само една напълно Определена стойност. Различието между променлива и параметър придобива особено значение при анализа на функция на няколко променливи, с които практически физиката винаги работи Като пример да разгледаме закона на Ом (Пинский, 1977).
Начини за преодоляване на различията:
Пример: Във формулата: I=UR големината на тока е функция на две променливи - напрежението и съпротивлението. Установяването на съответствие между големината на тока и едната от тях е възможно само в случая, когато другата е фиксирана.
Нека в дадена задача се изследва токът в някакъв конкретен резистор. Тогава съпротивлението му е параметър, напрежението аргумент, а големината на тока - функция. За да установим вида на тази функция, трябва по някакъв начин да получим множество от стойности на напрежението, например да прикачим резистора към клемите на автотрансформатор или към различни клетки на акумулатор. Тогава ще се убедим, че при дадено съпротивление големината на тока е пропорционална на напрежението.
Естествено тази зависимост може да се изкаже обратно, като се твърди, че при дадено съпротивление напрежението върху резистора е пропорционално на големината на тока.
Физическият смисъл на това твърдение е следният: колкото пъти се увеличи големината на тока в даден резистор, толкова пъти по- голяма ще бъде потенциалната разлика в краищата му. Тук вече аргументът (т. е. променливата, чиито стойности се дават взводно от някакво множество) е големината на тока, а функцията е напрежението. Тази функция е удобно да се запише във. вида U=IR. Графиката и практически с нищо не се различава от тази на както това е при графиките на права и обратна пропорционалност.
Сега да фиксираме стойността на напрежението, което има следния смисъл: в осветителната мрежа например има стабилно напрежение от 220 V, както практически е стабилно напрежение то на клемите на акумулатор (далеч от режим на късо съединение). В този случаи в израза I=U/R за параметър служи напрежението, аргумент е съпротивлението, а функция - големината на тока. Множеството от стойности на съпротивлението се реализира чрез включване в мрежата на различни резистори, избирани например от кутия. Тогава се оказва, че при дадено напрежение големината на тока е обратно пропорционална на съпротивлението на резистора, което графично е показано на Фиг. 3.

Фиг.
Естествено има смисъл и функцията R=U/I, която гласи: при дадено напрежение съпротивлението е обратно пропорционално на големината на тока. Даденото твърдение има напълно определен смисъл. А именно: ако при дадено напрежение трябва да се увеличи големината на тока, от кутията трябва да се вземе резистор с по-малко съпротивление. Върху този именно принцип се основава действието на реостата. Ние фиксираме плъзгача на реостата в такова положение, че съпротивлението на работната част от намотката да е обратно пропорционално, на онази големина на тока, която трябва да бъде получена. Стойностите на големината на тока се дават независимо и следователно големината на тока е аргументът; стойностите на съпротивлението се подбират в съответствие с нужната стойност на големината на тока и следователно съпротивлението е функция на големината на тока. (Кюлджиева, 1997)
Да разгледаме накрая случая, когато големината на тока е параметър, а напрежението и съпротивлението - променливи величини, Тогава зависимостта между , тези променливи ще се изрази или чрез U=IR (при дадена големина на тока напрежение¬то е пропорционално на съпротивлението), или чрез R=U/I (при дадена големина на тока съпротивлението е пропорционално на напрежението). Тези две формулировки имат физически смисъл. Така например в делител на напрежение (потенциометър) напреженията в отделните участъци са пропорционални на съпротивленията им: U1/U2= R1/R2 . Що се отнася до функцията R2/R1= U2/U1 то такава зависимост срещаме например при ситуация, когато напрежението в мрежата се изменя (например при преминаване от напрежение 120 V към напрежение 220 V), а големината на тока не трябва да се променя. Тогава трябва да сменим всички резистори с други по такъв начин, че новите съпротивления да се отнасят към старите, тъй както новите напрежения към старите.
Ще отбележим, че тук възниква един нов проблем -как да се създават резистори с различни съпротивления? Но това вече е друга задача и тя се решава не въз основа на закона на Ом, а въз основа на функционната зависимост на съпротивлението на резистора от размерите на проводника и материала, от който е направен той: R=ρl/S. Тук се установява също, че например съпротивлението на резистора е пропорционално на дължината на проводника при равенство на останалите параметри. Но това ни най-малко не противоречи на предишните ни разсъждения, отнасящи се до закона на Ом.
Изводи:
Възприетият в математиката начин за разглеждане на понятието функция се съгласува напълно с нуждите на физиката.
Математическият подход към понятието функция позволява анализ на всякакви конкретни физични ситуации, които изразяват зависимости между физични величини.
Когато се анализира зависимостта между физични величини, трябва ясно да се установи кои от тях в дадената задача са параметри и кои са променливи.
За целите на обучението трябва да има само две променливи - аргументът и функцията, а всички останали величини ( в конкретната задача ) да се фиксират.
1.1.2 Вектор
Във физиката векторът се дефинира като величина, която се изобразява с насочена отсечка. Като примери за вектори се използват преместването, скоростта, ускорението, силата, интензитетът на поле и др. В математиката векторът може да се дефинира като транслация (успоредно пренасяне) или като наредена n - орка от съответното числово множество. Естествено е такива различни тълкувания да пораждат в учениците обърканост и въпроси, на които те не винаги могат да намерят прост отговор.
Лесно може да се покаже, че и в двата случая става дума за различни интерпретации на едно и също понятие - векторна величина, за представители на различни векторни пространства, удовлетворяващи една и съща система от аксиоми.
В курса по математика за 5 - 6 клас (Паскалева, 2011)положителните и отрицателните числа се изобразяват върху числовата ос и с помощта на линийка и пергел се интерпретира събирането на рационални числа чрез съответно събиране на отсечки върху числовата права. Именно при този материал учениците за пръв път се запознават с понятието посока. Така те се подготвят за разбиране на някои свойства на векторите в 8 клас и по-специално на операцията събиране на сили с еднаква и противоположни посоки. Този пропедевтичен материал до известна степен облекчава формирането на понятието вектор в курса по физика в 8. клас (Максимов, 2009).
За пръв път учениците срещат понятието вектор в курса по физика за 8 клас: "Величини, които освен големина, имат и посока, се наричат векторни величини. Силата е векторна величина." Това понятие не се използва повече в курса по физика за 8 клас (Максимов, 2009)в учебника нито веднъж не се споменава за него, и затова може да се каже, че то не е и необходимо за изучаването на праволинейното движение.
По-естествено ни се струва такова въвеждане на понятието вектор по физика в 8 клас (Максимов, 2009), където след въвеждането на силата и скоростта като векторни величини, се съобщава на учениците, че всичките тези величини имат някои особени свойства, които правят действията с тях различни от действията над неотрицателни числа: те се събират като насочени отсечки. С това се извършва пропедевтика на това понятие. Това създава база за използване на въпросното понятие в курса по физика при изобразяването на силата чрез насочена отсечка, а с това и за интерпретирането на силата като векторна величина(Кожекина, и др., 1982).
В курса по математика за 8 клас се упоменава:
" .... специално ще се занимаваме с успоредните пренасяния, като ги наричаме с новото име вектори". С това векторът се дефинира като успоредно пренасяне, така че ученикът не може да види никаква връзка с векторите, въведени в курса по физика в 8 клас.
Тъй като цитираното изречение не е строга дефиниция, не бива учениците да бъдат заставяни да го заучават като основно за всеки математически или физически обект, който искаме да наречем вектор, е необходимо да се дефинират такива релации, като сума и произведение с число, нулев вектор и вектор, противоположен на даден вектор. Затова ни се струва, че е необходимо у учениците да се формира по-широко и коректно понятието вектор като елемент на векторно пространство, на основата на което трябва да се разглеждат частните примери: силата като насочена отсечка, успоредното пренасяне и т. н..



Сподели линка с приятел:





Яндекс.Метрика
Методичен анализ на развитието на понятията функция и вектор в часовете по математика и физика 9 out of 10 based on 2 ratings. 2 user reviews.